Câu | Ý | Hướng dẫn giải của Tuyensinh247.com |
Câu 1: (1,5 điểm) | 1.1 | 1.1 Tính giá trị của biểu thức . Cách giải: Ta có: Vậy giá trị của biểu thức . |
1.2 | Rút gọn biểu thức (với ). Cách giải: Với , ta có: Vậy với thì . |
Câu 2: (0,5 điểm) | | Vẽ đồ thị của hàm số Cách giải: Ta có bảng giá trị sau: Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm: Hệ số nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau: |
Câu 3: (1.5 điểm) | 3.1 | Giải phương trình (Không giải trực tiếp bằng máy tính). Cách giải: Ta có: (Phương trình có các hệ số: , , ) Khi đó: Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình là . |
3.2 | Gọi là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức . Cách giải: Ta có với . Xét , do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt . Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: Ta có: Thay các giá trị từ định lý Vi-ét vào biểu thức, ta được: Vậy giá trị của biểu thức . |
3.3 | Một phòng thi có thí sinh dự thi. Sau khi thu bài của tất cả thí sinh, giám thị đếm được tổng số tờ giấy làm bài là tờ. Hỏi có bao nhiêu thí sinh làm bài tờ và bao nhiêu thí sinh làm bài tờ? Biết rằng có thí sinh chỉ làm tờ và không có thí sinh làm nhiều hơn tờ. Cách giải: Số thí sinh làm bài tờ và tờ là: Số tờ giấy của thí sinh làm tờ là: (tờ). Số tờ giấy còn lại của nhóm làm tờ và tờ là: (tờ) Gọi là số thí sinh làm bài tờ (). Gọi là số thí sinh làm bài tờ (). Vì số thí sinh làm bài 2 tờ và 3 tờ là 18 thí sinh, số tờ giấy còn lại của nhóm làm 2 tờ và 3 tờ là 50 tờ nên ta có hệ phương trình: Từ phương trình đầu ta có: . Thay vào phương trình thứ hai: (TM) Suy ra (TM) Vậy có thí sinh làm bài tờ, 14 thí sinh làm bài tờ. |
Câu 4: (1 điểm) | | Một cây bút có phần thân dạng hình trụ, đầu ngòi bút dạng hình nón. Biết đường kính đáy của hình trụ và hình nón đều bằng 2 cm. Chiều cao hình trụ là 20 cm, chiều cao hình nón là 4 cm (tham khảo hình vẽ sau). Tính thể tích của cây bút (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Cách giải: Bán kính đáy hình trụ và hình nón là: 2 : 2 = 1 (cm). Thể tích của phần thân hình trụ là: . Thể tích của phần ngòi bút hình nón là: . Thể tích cây bút là: . Vậy thể tích cây bít là 67 |
Câu 5: (3 điểm) | 5.1 | Tính giá trị của biểu thức . Cách giải: Vậy |
5.2 | Một con thuyền cách chân của ngọn hải đăng 100 m và nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Biết rằng tia sáng từ ngọn hải đăng hợp với phương thẳng đứng một góc bằng 70° (tham khảo hình vẽ sau). Hỏi ngọn hải đăng cao bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Cách giải: Xét tam giác ABC vuông tại C, Áp dụng tỉ số lượng giác ta có Vậy ngọn hải đăng cao khoảng 36 mét. |
5.3 | Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). |
5.31 | Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. Cách giải: Xét đường tròn (O), ta có AB là tiếp tuyến với đường tròn tại tiếp điểm B Suy ra (tính chất tiếp tuyến). Do đó, . Xét có , nên là tam giác vuông tại . Suy ra A, B, O cùng nằm trên đường tròn có đường kính AO. (1) Chứng minh tương tự, ta có AC là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại tiếp điểm C (theo giả thiết). Suy ra nên là tam giác vuông tại . Suy ra A, C, O cùng nằm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền AO. (2) Từ (1) và (2), ta suy ra bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AO |
5.32 | Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Qua điểm O, kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại I và cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O). Cách giải: Ta có OB = OC = R và AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra OA là trung trực của BC hay tại H Xét và có chung Suy ra nên hay Mà nên (2) Xét và có chung Suy ra nên hay (3) Từ (2) và (3) suy ra hay Kết hợp với chung nên suy ra Suy ra nên tại D thuộc (O) Vậy DE là tiếp tuyến của (O) |
Câu 6: (1.5 điểm) | 6.1 | 6.1 Một vận động viên tập bắn súng, sau khi bắn 20 phát, điểm số được ghi lại như sau: 9 | 9 | 10 | 10 | 9 | 8 | 9 | 9 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 | 9 | 8 | 9 | 9 | 10 | 10 | 9 |
Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê trên. Cách giải: Tổng số lần bắn của vận động viên là: . Dựa vào mẫu số liệu, ta có: - Điểm 8 xuất hiện 2 lần. Tần số tương đối là: . - Điểm 9 xuất hiện 10 lần. Tần số tương đối là: . - Điểm 10 xuất hiện 8 lần. Tần số tương đối là: . Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu: Điểm số | 8 | 9 | 10 | Tần số tương đối | 10% | 50% | 40% |
|
6.2 | Từ các chữ số 0; 2; 4; 6, người ta viết tùy ý một số có bốn chữ số khác nhau. Hãy tính xác suất của biến cố E: “Số viết được có chữ số 6 và chữ số 0 đứng cạnh nhau”. Cách giải: Phép thử là viết một số có bốn chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 2; 4; 6. Vì chữ số hàng nghìn không được là 0, ta liệt kê được tất cả các số thỏa mãn gồm: - Các số bắt đầu bằng 2: 2046; 2064; 2406; 2460; 2604; 2640. - Các số bắt đầu bằng 4: 4026; 4062; 4206; 4260; 4602; 4620. - Các số bắt đầu bằng 6: 6024; 6042; 6204; 6240; 6402; 6420. Có tất cả 18 kết quả có thể xảy ra. Do người ta viết tùy ý nên các kết quả này là đồng khả năng. Suy ra E là biến cố: "Số viết được có chữ số 6 và chữ số 0 đứng cạnh nhau". Các kết quả thuận lợi cho biến cố E là: 2064; 2406; 2460; 2604; 4062; 4206; 4260; 4602; 6024; 6042 Có tất cả 10 kết quả thuận lợi cho biến cố E, Xác suất của biến cố A là: |
Câu 7: (1 điểm) | | Vân có nghìn đồng. Vân muốn mua quyển vở với giá nghìn đồng mỗi quyển và một số cây bút giá nghìn đồng mỗi cây. Hỏi Vân mua được nhiều nhất bao nhiêu cây bút? Cách giải: Gọi là số cây bút Vân mua (). Số tiền Vân dùng để mua quyển vở là: (nghìn đồng) Số tiền còn lại để Vân mua bút là: (nghìn đồng) Vì giá mỗi cây bút là nghìn đồng và tổng số tiền mua bút không được vượt quá số tiền còn lại, nên ta có bất phương trình: Vì số cây bút mua được là số tự nhiên () và ta cần tìm số cây bút nhiều nhất có thể mua, nên ta chọn giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là . Vậy Vân mua được nhiều nhất cây bút. |
